Was ist poincare vermutung?

Die Poincaré-Vermutung ist ein berühmtes mathematisches Problem in der Topologie. Sie betrifft die Charakterisierung der 3-dimensionalen Sphäre.

Kern der Vermutung: Einfach ausgedrückt besagt die Poincaré-Vermutung, dass jede einfach zusammenhängende, geschlossene 3-dimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-dimensionalen Sphäre ist.

• Einfach zusammenhängend: bedeutet, dass jede Schleife in der Mannigfaltigkeit stetig zu einem Punkt zusammengezogen werden kann. Siehe hierzu: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Einfach%20zusammenhängend
• Geschlossene Mannigfaltigkeit: bedeutet, dass die Mannigfaltigkeit kompakt ist und keine Ränder hat.
• Homöomorph: bedeutet, dass es eine stetige bijektive Abbildung mit stetiger Inversen zwischen den beiden Räumen gibt (topologisch äquivalent).

Bedeutung:

Die Poincaré-Vermutung ist ein Spezialfall der Geometrisierungsvermutung von William Thurston, die eine viel umfassendere Klassifizierung von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten vornimmt. Die Geometrisierungsvermutung besagt, dass jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit in Stücke zerlegt werden kann, die jeweils eine von acht bestimmten geometrischen Strukturen tragen.

Lösung:

Die Poincaré-Vermutung wurde 2002/2003 von Grigori Perelman bewiesen. Perelmans Beweis basiert auf der Arbeit von Richard S. Hamilton über den Ricci-Fluss. Perelman bestätigte auch die Geometrisierungsvermutung von Thurston. Für seine Arbeit wurden Perelman die Fields-Medaille (2006) und das Clay Millennium Prize Problem (2010) verliehen, die er jedoch beide ablehnte. Der Ricci-Fluss ist hier erklärt: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Ricci-Fluss