Die Poincaré-Vermutung ist ein berühmtes mathematisches Problem in der Topologie. Sie betrifft die Charakterisierung der 3-dimensionalen Sphäre.
Kern der Vermutung: Einfach ausgedrückt besagt die Poincaré-Vermutung, dass jede einfach zusammenhängende, geschlossene 3-dimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-dimensionalen Sphäre ist.
Bedeutung:
Die Poincaré-Vermutung ist ein Spezialfall der Geometrisierungsvermutung von William Thurston, die eine viel umfassendere Klassifizierung von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten vornimmt. Die Geometrisierungsvermutung besagt, dass jede geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit in Stücke zerlegt werden kann, die jeweils eine von acht bestimmten geometrischen Strukturen tragen.
Lösung:
Die Poincaré-Vermutung wurde 2002/2003 von Grigori Perelman bewiesen. Perelmans Beweis basiert auf der Arbeit von Richard S. Hamilton über den Ricci-Fluss. Perelman bestätigte auch die Geometrisierungsvermutung von Thurston. Für seine Arbeit wurden Perelman die Fields-Medaille (2006) und das Clay Millennium Prize Problem (2010) verliehen, die er jedoch beide ablehnte. Der Ricci-Fluss ist hier erklärt: https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Ricci-Fluss
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